MECÃNICA GRACELI GERAL - QUÃNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $G*$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

TEMPERATURA QUÂNTICA GRACELI;

ENERGIA QUÂNTICA GRACELI

MOMENTUM QUÂNTICO GRACELI

ESTADO QUÂNTICO GRACELI

${\mathcal {T}}$ Q G = $\hbar$ M / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $G*$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

E QG = $\hbar$ M / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $G*$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

M QG = $\hbar$ M / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $G*$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

EQG = $\hbar$ M / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $G*$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Distribuição de Maxwell-Boltzmann- Graceli

A distribuição de Maxwell-Boltzmann é uma distribuição de probabilidade com aplicações em física e química.

No início da segunda metade do século XIX (1859) J. C. Maxwell divulgou estudos sobre como se distribuíam os módulos das velocidades das moléculas de um gás em equilíbrio térmico. Posteriormente, esses estudos foram solidificados por L. Boltzmann.

Dedução[editar | editar código-fonte]

A distribuição de velocidades moleculares de um gás pode ser medida diretamente com aparato adequado. Os valores medidos de rapidez são plotados para dois valores de temperatura. A quantidade $f(v)$ é chamada função de distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann. Em um gás com N moléculas, o número de moléculas com modulo de velocidade entre $v$ e $v+dv$ é $dN$ , dado por:

$dN=Nf(v)dv$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

A função de distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann pode ser deduzida usando-se a mecânica estatística; a temperatura é a variável que determina a mudança para uma certa substância e k é a constante de Boltzmann (definida pela razão entre a constante dos gases perfeitos e a constante de Avogadro que resulta em $k=1{,}380650310\cdot 10^{-23}\,{\frac {J}{K}}$ ). $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQGO resultado da função é:

${\displaystyle dN=Nf(v)dv}={\displaystyle N4\pi (m/2\pi kT)^{3/2}v^{2}e^{-mv^{2}/2kT}dv}$

Assim, a velocidade média das moléculas a uma certa temperatura é dada por ${\sqrt {8kT/m\pi }}$ , a velocidade mais provável de ser encontrada é dada por ${\sqrt {2kT/m}}$ e a velocidade quadrática média é dada por ${\sqrt {3kT/m}}$ .[1] Dessa forma, é possível esboçar um gráfico semelhante ao da imagem ao lado, no qual fica mais fácil de visualizar a distribuição.

A distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann também pode ser escrita como uma distribuição de energias cinéticas de translação.

Distribuição de Boltzmann - Graceli.

Em física a Distribuição de Boltzmann permite calcular a função distribuição para um número fracionário de partículas Ni / N ocupando um conjunto de estados i cada um dos quais tem energia Ei:

{{N_{i}} \over {N}}={{g_{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}} \over {Z(T)}}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

onde $k_{B}$ é a constante de Boltzmann, T é a temperatura (admitida como sendo uma quantidade precisamente bem definida), $g_{i}$ é a degeneração, ou número de estados tendo energia $E_{i}$ , N é o total do número de partículas:

N=\sum _{i}N_{i}\,

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

e Z(T) é chamada função partição, a qual pode ser tratada como sendo igual a

Z(T)=\sum _{i}g_{i}e^{-E_{i}/k_{B}T}.

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Alternativamente, para um sistema único em uma temperatura bem definida, ela dá a probabilidade deste sistema em seu estado específico. A distribuição de Boltzmann aplica-se somente à partículas em uma suficiente alta temperatura e baixa densidade nas quais efeitos quânticos possam ser ignorados, e cujas partículas obedeçam a estatística de Maxwell–Boltzmann. (Veja este artigo para uma derivação da distribuição de Boltzmann.)

A distribuição de Boltzmann é frequentemente expressa em termos de β = 1/kT aonde β refere-se ao beta termodinâmico. O termo $e^{-\beta E_{i}}$ ou $e^{-E_{i}/(kT)}$ , $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

o qual dá a relativa probabilidade (não normalizada) de um estado, é chamada factor de Boltzmann e aparece frequentemente no estudo da física e química.

Quando a energia é simplesmente a energia cinética da partícula

E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2},

então a distribuição corretamente dá a distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocidades das moléculas do gás, previamente previstas por Maxwell em 1859. A distribuição de Boltzmann é, entretanto, muito mais geral. Por exemplo, ela prediz a variação da densidade de partículas num campo gravitacional em relação à altitude, se $E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}+mgh$ . $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

De fato a distribuição aplica-se sempre que as considerações quânticas possam ser ignoradas.

Em alguns casos, uma aproximação contínua pode ser usada. Se há g(E) dE estados com energia E a E + dE, quando a distribuição de Boltzmann prediz uma probabilidade de distribuição para a energia:

p(E)\,dE={g(E)\exp({-\beta E}) \over {\int g(E')\exp {(-\beta E')}}\,dE'}\,dE.

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Partículas clássicas com esta distribuição de energia são ditas obedientes à estatística de Maxwell–Boltzmann.

No limite clássico, i.e. em grandes volumes de E/kT ou às menores densidades de estados — quando funções de onda de partículas praticamente não se sobrepõe, tanto a distribuição Bose–Einstein ou a Fermi–Dirac tornam-se a distribuição de Boltzmann.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A propriedade central da mecânica estatística é a utilização de métodos estatísticos para a formulação de uma teoria cinética para átomos e moléculas, com o intuito de explicar as propriedades deles em um nível macroscópico da natureza.^[8]

Um teorema chave é o valor médio da energia cinética das moléculas de um gás a uma certa temperatura $�,$ que é calculado como

{\frac {1}{2}}k_{B}T

(graus de liberdade).

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

A distribuição de Boltzmann é um resultado muito conhecido na física, que relaciona a Termodinâmica com a Mecânica Estatística.^[8] Por exemplo: a distribuição de moléculas na atmosfera - desconsiderando ventos e que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura $� .$

Supondo que $�$ é o número de moléculas total em um volume $�$ de um gás à pressão $�,$ então tem-se que:

$PV=NRT,$ ou $P=nk_{B}T,$ $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

sendo $n={\frac {N}{V}}$ o número de moléculas por unidade de volume. A temperatura sendo uma constante, a sua pressão será proporcional à sua densidade.

A variação de densidade em função da altitude se dá ao tomar-se uma unidade de área com altura $ℎ;$ sua força vertical será a força sobre a área sendo representado por $�$ (pressão).

Em um sistema em equilíbrio, suas forças nas moléculas deverão ser balanceadas ou nulas sendo $h+dh$ a pressão feita na área inferior da camada que deve superar a pressão sobre a área de cima da camada assim balanceando com o peso.

Sendo $� �$ a força da gravidade em cada molécula, $� � ℎ$ é o número total das moléculas em cada área.^[8] Com todas essas informações obtém-se a equação diferencial que representa o equilíbrio

$P_{h}+dh-P_{h}=dP=-mgndh$

Assim, sendo $P=nk_{B}T$ e também $�$ constantes , elimina-se $�$ e resta a equação para $�$

${\frac {dn}{dh}}={mg}{k_{B}T}n$

Tem-se a variação da densidade em função da altura na atmosfera do exemplo:

$n=n_{0}e^{-mgh/k_{B}T},$ sendo $n_{0}$ a densidade em relação à $h=0$

O numerador do expoente da equação anterior representa a energia potencial para cada átomo, sendo sua densidade em cada ponto igual a

$e^{-\in /k_{B}T}$

Sendo que $\in$ é a energia potencial de cada átomo.

Supondo que haja diversas forças em atuação nos átomos, sendo elas carregadas e estejam sob forte influência de um campo elétrico ou haja atração entre elas.

Havendo um tipo apenas de molécula, a força em uma porção de gás será a força sobre uma molécula $\times$ o número de moléculas nessa mesma porção, sendo que a força age na direção $� .$ Semelhante em sua forma do problema da atmosfera, tomando dois planos paralelos no gás apenas separados por uma distância representada por $� �,$ então a força sobre cada átomo multiplicada pela a densidade $�$ e por $� �$ deve ser balanceada pela diferença de pressão, ou seja,

$Fndx=dP=k_{b}T\;dn$

sendo $dW=-Fdx$ o trabalho feito sobre uma molécula ao transportá-la de $�$ até $x+dx,$ seu trabalho é igual à diferença de energia potencial (ao quadrado) $�$ assim,

$dU=-Fdx$

Obtém-se da equação de força anterior:

${\frac {dn}{n}}=-{\frac {dU}{k_{B}T}}$

Resultando em

$n=n_{0}e^{-U/k_{B}T}$

Sendo $�$ a variação de energia do estado final e inicial.

Esta última expressão é tratada como sendo a Lei de Boltzmann e pode ser interpretada da seguinte forma:

A probabilidade de encontrar moléculas em uma dada configuração espacial é tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura.

Tal probabilidade diminui exponencialmente com a energia dividida por $k_{B}T.$

O princípio da equipartição da energia é um princípio que assevera que para cada grau de liberdade dos entes de um certo tipo de sistema a contribuição para a energia total é de $k{\frac {T}{2}}$ , onde $�$ é a constante de Boltzmann.

Formalismo hamiltoniano[editar | editar código-fonte]

Se um sistema apresenta um hamiltoniano cujas coordenadas tem termos quadráticos da forma

$H\left(q,{\dot {q}},t\right)=f\left(q^{2},{\dot {q}}^{2},t\right)$

a contribuição para cada grau de liberdade (ou seja, cada coordenada) é dada por $k{\frac {T}{2}}$ . $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

Termodinâmica estatística ou mecânica estatística^{[notas 1]} é um ramo da física que une as propriedades macroscópicas e microscópicas da matéria demonstrando e interpretando atomicamente alguns porquês da termodinâmica como trabalho, calor, energia livre e entropia. Por trabalhar com um número extenso de entidades microscópicas (átomos, moléculas ou íons), faz uso de mecânica clássica, mecânica quântica e do ferramental matemático da estatística, esta última utilizada principalmente para determinar os valores médios das populações.

A quantidade requerida de informações para descrever uma partícula, átomo, molécula ou íon (no contexto da mecânica clássica) implica o estabelecimento de 6 coordenadas para cada uma das entidades microscópicas (3 posições e 3 velocidades), o que representa um número expressivo de dados quando levamos em conta um número relativamente grande de entidades como um mol (6,022x10²³), por exemplo.

A termodinâmica estatística possui uma capacidade de previsão das grandezas macroscópicas por trabalhar com os dados espectroscópicos de moléculas individuais, apresentando assim uma vantagem nesse quesito com relação à termodinâmica clássica. Ambas, porém são regidas pela segunda lei da termodinâmica por meio da entropia. No entanto, a entropia em termodinâmica clássica só pode ser conhecida empiricamente, enquanto que na mecânica estatística, é uma função da distribuição do sistema nos seus microestados.

A termodinâmica estatística é então, uma ponte que explica a termodinâmica clássica (que analisa a parte sensível aos sentidos, ou seja, pressão, temperatura...) utilizando-se da mecânica quântica (que trabalha com a parte atômica, ou seja, colisões intermoleculares, velocidades dos átomos, equipartição da energia...) da mecânica clássica (de onde vem a definição de momento, força, trabalho) e da estatística (utilizada para se obter sistemas simplificados sem a perda da confiabilidade).

Aplicações[editar | editar código-fonte]

A termodinâmica estatística, pode ser usada para explicar diversos fenômenos físicos do cotidiano, dentre os quais a dedução da lei dos gases ideais, a transferência de calor entre dois corpos e a troca de estado físico dos materiais, destacando aqui a evaporação.

Dedução da lei dos gases[editar | editar código-fonte]

Imagine uma caixa cúbica de lado $�$ contendo $�$ moléculas de um gás dentro dela. Considere o gás como ideal (não há interações moleculares) e, num primeiro momento, analise apenas uma molécula desse gás, onde $�$ e ${\vec {v}}$ são respectivamente a massa e a velocidade da molécula. Essa molécula realiza apenas colisões elásticas com as paredes (a energia do sistema é conservada e a cada colisão apenas uma componente da velocidade é alterada). Nesse caso, a cada colisão, teremos uma variação de momento dado por:

\Delta \,{\vec {p}}_{x}=-2m{\vec {v}}_{x}\,\!

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

A molécula então, choca-se várias vezes com uma certa parede, sendo que $\Delta \,t$ é o intervalo de tempo para que a molécula consiga se deslocar até a parede oposta e voltar para a parede em questão, ou seja, percorrer uma distância de $2L$ . Nesse caso, o intervalo de tempo é igual a distância percorrida dividida pela velocidade.

{\frac {\Delta \,{\vec {p}}_{x}}{\Delta t}}={\frac {2m{\vec {v}}_{x}}{\frac {2L}{{\vec {v}}_{x}}}}={\frac {m({\vec {v}}_{x})^{2}}{L}}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Da segunda lei de Newton, sabemos que a força é a derivada do momento em relação ao tempo. Nesse caso, a força que é transferida para a parede é igual a soma da contribuição do momento de cada molécula, levando em conta a que elas podem ter velocidades diferentes. Sabemos que a pressão $�$ é igual a força ${\vec {F}}$ dividida pela área da parede $L^{2}$ . Assim usando a equação anterior, temos que o somatório das $�$ moléculas será:

P={\frac {{\vec {F}}_{x}}{L^{2}}}={\frac {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}{L^{2}}}={\frac {{\frac {m({\vec {v}}_{x1})^{2}}{L}}+{\frac {m({\vec {v}}_{x2})^{2}}{L}}+\cdots +{\frac {m({\vec {v}}_{xN})^{2}}{L}}}{L^{2}}}={\frac {m}{L^{3}}}\sum _{i=1}^{N}({\vec {v}}_{xi)^{2}}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Sendo ${N}_{a}$ a constante de Avogadro, podemos fazer a substituição $N=n{N}_{a}$ . $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

O somatório então pode ser visto como $n{N}_{a}{\vec {v^{2}}}_{xmed}$ , onde ${\vec {v^{2}}}_{xmed}$ é o valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas:

P={\frac {nm{N}_{a}}{L^{3}}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Além disso, $m{N}_{a}$ é igual a massa molar $�$ do gás e $L^{3}$ é igual ao volume do gás.

P={\frac {nM}{V}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Podemos pensar agora, que para qualquer molécula ${\vec {v^{2}}}={v^{2}}_{x}+{v^{2}}_{y}+{v^{2}}_{z}$ . Isso é válido pois como possuimos muitas moléculas e elas se movem em direções aleatórias os valores médios dos quadrados das componentes da velocidade são iguais, de modo que : ${\vec {v}}_{x}={\frac {1}{3}}{\vec {v}}$ e então:

P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{med}}{3V}}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Substituímos então ${\vec {v^{2}}}_{med}$ pela velocidade quadrática média, definida como ${\vec {v}}_{rms}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}$ , $/$ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

onde $�$ é a constante universal dos gases e $�$ é a temperatura.

P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{rms}}{3V}}={\frac {nM\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,\right)^{2}}{3V}}

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Isolando $� �$ é fácil ver que a lei de um gás ideal é então:

P\cdot V=n\cdot R\cdot T\,\!

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

onde: $�$ é a pressão, $�$ é o volume, $�$ é o número de mols, $�$ é a constante universal dos gases perfeitos e $�$ a temperatura.^[1]

Transições de fase[editar | editar código-fonte]

As transições de fase dependem diretamente das forças intermoleculares (que são de natureza elétrica). A módulo da força de atração é o que determina em que fase a amostra se encontra. Na fase gasosa, as moléculas estão muito separadas e com uma energia cinética quadrática média muito alta, logo as forças de atração são fracas. Na fase líquida e sólida, diminuí-se o espaço entre as moléculas, logo tem-se um aumento das interações de atração, o que faz com que as moléculas se movam cada vez menos diminuindo sua energia cinética.

Segundo o teorema da equipartição da energia, a temperatura é proporcional à energia média de cada grau de liberdade, logo aumentando a temperatura (e mantendo a pressão constante), aumentamos a energia cinética da amostra, o que favorece o afastamento das moléculas. Esse aumento nos módulos das velocidades é similar a distribuição de Maxwell, logo conseguimos inferir sobre a evaporação através dessa distribuição.

Evaporação[editar | editar código-fonte]

Considere uma molécula que está com uma energia cinética maior do que a energia da tensão superficial do líquido ao qual faz parte. Nesse caso, ao chegar próximo a superfície do líquido, ela irá escapar e nesse caso, diminuir a energia cinética média do sistema, ou seja, o sistema irá perder temperatura em decorrência da evaporação. Pela distribuição de Maxwell, temos moléculas com velocidades de zero a infinito independentemente da temperatura do sistema, logo a evaporação sempre existirá. Contudo, se aumentarmos a energia cinética quadrática média, aumentaremos a probabilidade de encontrarmos moléculas com energia suficiente e a direção correta para escapar do líquido.^[2]

Transferência de calor[editar | editar código-fonte]

Um processo similar pode explicar a troca de calor entre dois corpos. Imagine um corpo A quente e um corpo B frio. Colocando as duas superfícies em contato, as moléculas da superfície de A colidirão com as moléculas da superfície de B, transmitindo energia, valendo a recíproca. Como a energia cinética quadrática média em A é maior, é plausível pensarmos que as moléculas de A cederão energia para as moléculas de B, e nesse processo A esfrie enquanto B aquece. O ar é um bom isolante térmico pois sendo um gás contém poucas moléculas em comparação com os outros estados físicos, logo a taxa de transferência de energia é menor (considerando um sistema sem convecção).

História[editar | editar código-fonte]

Em 1738, o físico e matemático holandês Daniel Bernoulli publicou Hydrodynamica que estabeleceu a base da teoria cinética dos gases. Em seu trabalho, Bernoulli postulou o argumento, ainda utilizado nos dias de hoje, que afirma que a energia cinética das colisões moleculares dos gases (constituídos de um grande número de moléculas que se movem em todas as direções), é a pressão do gás que sentimos, e o que experimentamos como o calor também é energia cinética do movimento molecular.

Em 1859, depois de ler um artigo sobre difusão das moléculas de Rudolf Clausius, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell para velocidades moleculares, que mostra a proporção de moléculas com uma certa velocidade em um certo espaço. Esta foi a primeira utilização da estatística na física.^[3] Cinco anos mais tarde, em 1864, Ludwig Boltzmann, um jovem estudante de Viena, utilizou os artigos de Maxwell como inspiração para desenvolver um tema adicional, durante sua vida.

Assim, os fundamentos da termodinâmica estatística foram estabelecidas no final de 1800 por aqueles que, como Maxwell, Boltzmann, Max Planck , Clausius, e Josiah Willard Gibbs , começaram a aplicar estatística na teoria quântica atômica para corpos de gases ideais. Predominantemente, no entanto, foram Maxwell e Boltzmann, trabalhando de forma independente, que chegaram a conclusões semelhantes quanto à natureza estatística dos corpos gasosos. No entanto, deve-se considerar Boltzmann como o "pai" da termodinâmica estatística com sua derivação em 1875 da relação entre entropia S e multiplicidade Ω, apresentando o número de arranjos microscópicos que produzem o mesmo estado macroscópico para um determinado sistema.^[4]

Ludwig Boltzmann então publicou em 1896 o artigo Lectures on Gas Theory.^[5] contendo mais de 2000 páginas interpretando termodinâmica estatística e os seguintes fatores H-teorema, teoria do transporte, equilíbrio térmico, e equação de estado dos gases. O termo "termodinâmica estatística" foi proposto para utilização na termodinâmica pelo físico e químico americano J. Willard Gibbs em 1902. Segundo Gibbs, o termo "estatística", i.e. mecânica estatística, foi usado pela primeira vez pelo físico escocês James Clerk Maxwell em 1871. "Mecânica probabilística" pode parecer um termo mais apropriado, mas hoje em dia, "mecânica estatística" está firmemente enraizada.^[6]

Introdução[editar | editar código-fonte]

O problema essencial na termodinâmica estatística é o de calcular a distribuição de uma dada quantidade de energia E em relação aos N sistemas.^[7] Enquanto que seu objetivo se foca em compreender e interpretar as propriedades macroscópicas dos materiais em termos das propriedades das suas partículas constituintes e das interações entre elas. Isso se dá através da ligação entre funções termodinâmicas e as equações da mecânica quântica. Três quantidades centrais em termodinâmica estatística são o teorema do limite central o fator de Boltzmann e a função de partição.

A definição mais importante de um sistema termodinâmico é a perspectiva da chamada interpretação estatística da entropia, que é definida como:

S=k_{B}\ln \Omega \!

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

onde k_B é constante de Boltzmann 1.38066×10⁻²³ J K⁻¹ e Ω é o número de microestados correspondentes à observação do macroestado.

Esta equação só é válida se cada microestado é igualmente acessível (cada microestado tem igual probabilidade de ocorrência).

Distribuição de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Se um sistema for grande podemos utilizar a distribuição de Boltzmann, que é um resultado aproximado dado por:

n_{i}\propto \exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right),\,

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

onde n_i representa o número de partículas ocupando um estado de energia i ou o número de microestados ocupando o macroestado i; U_i é a energia potencial do estado i; T é a temperatura; e k_B é a constante de Boltzmann.

Se N é o número total de partículas ou microestados, a função distribuição densidade de probabilidade segue:

\rho _{i}\equiv {\frac {n_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right)}{\sum _{j}\exp \left(-{\frac {U_{j}}{k_{B}T}}\right)}},

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

onde o denominador é a soma de todos os níveis.

Postulado fundamental[editar | editar código-fonte]

O postulado fundamental em termodinâmica estatística é o seguinte:

Dado um sistema isolado em equilíbrio, o sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer um de seus microestados acessíveis.

Este postulado é um pressuposto fundamental na mecânica estatística - afirma que um sistema em equilíbrio não tem qualquer preferência por qualquer um de seus microestados disponíveis. Dado Ω microestados com um certo nível de energia, a probabilidade de encontrar o sistema micro em particular é p = 1/Ω.

Este postulado é necessário porque permite concluir que, para um sistema em equilíbrio, o estado termodinâmico (macroestado), que pode resultar do maior número de microestados é também o macroestado mais provável do sistema.

O postulado é justificado em partes (para um sistema clássico) pelo Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)), visto que, se a distribuição dos pontos do sistema através do espaço fásico é uniforme em algum momento, ele permanecerá assim em momentos posteriores.

Isso permite a definição da função de informação (no contexto da teoria da informação):

I=-\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle -\ln \rho \rangle .

/

{\mathcal {T}}

Q G + E QG + M QG + EQG

Quando todas as probabilidades ρ_i são iguais, I é máximo, e nós possuímos o mínimo de informações sobre o sistema. Logo, em um sistema isolado em equilíbrio, a entropia é máxima (entropia pode ser considerada como uma medida da desordem: uma maior desordem, maior desinformação e, portanto, um valor inferior de I.

Esta função de informação é a mesma que a função entropia reduzida em termodinâmica..

Mark Srednicki argumentou que o postulado fundamental pode ser derivado, assumindo apenas que a conjectura de Berry (em homenagem a Michael Berry ) aplica-se ao sistema em questão.^[8]^[9] A conjectura de Berry é apenas para sistemas caóticos, e quando os autoestados tem sua energia distribuída como uma distribuição normal. Como todos os sistemas realistas tem um punhado de graus de liberdade então estes deverão ser caótico, o que converge para o postulado fundamental. A conjectura de Berry também tem sido demonstrada na teoria da informação pelo princípio do viés.^[10]

Ensembles canônicos[editar | editar código-fonte]

A formulação moderna desta teoria é baseada na descrição de um sistema físico ter um elenco de comum de estados representando todas as configurações possíveis e as probabilidades de ocorrência de cada uma das configurações.

Cada estado está associado a uma função de partição , por manipulações matemáticas, para que então se extraia os valores termodinâmicos do sistema. De acordo com a relação do sistema com o resto do universo, são normalmente identificados três tipos de estados, em ordem crescente de complexidade:

Ensemble microcanônico descreve um estado completamente isolado, que possui uma energia constante, não trocando energia ou partículas com o resto do Universo;
Ensemble canônico descreve um sistema em equilíbrio térmico que só pode trocar energia como a transferência de calor para o exterior;
Ensemble grande canônico descreve sistemas abertos que permitem a troca de partículas com o exterior.

Resumo dos ensembles	Ensembles
Resumo dos ensembles	Ensemble microcanônico	Ensemble canônico	Ensemble grande canônico
Constantes	E, N, V	T, N, V	T, μ, V
Características microscópicas	Número de microestados $\Omega$	Função de partição canônica $Z=\sum _{k}e^{-\beta E_{k}}$	Grande função de partição canônica $\Xi =\sum _{k}e^{-\beta (E_{k}-\mu N_{k})}$
Funções macroscópicas	$S=k_{B}\ln \Omega$	$F=-k_{B}T\ln Z$	$F-\mu N=-k_{B}T\ln \Xi$

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Distribuição de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Postulado fundamental[editar | editar código-fonte]

Ensembles canônicos[editar | editar código-fonte]

/ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG

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Distribuição de Maxwell-Boltzmann- Graceli

Dedução[editar | editar código-fonte]

Distribuição de Boltzmann - Graceli.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Formalismo hamiltoniano[editar | editar código-fonte]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Dedução da lei dos gases[editar | editar código-fonte]

Transições de fase[editar | editar código-fonte]

Evaporação[editar | editar código-fonte]

Transferência de calor[editar | editar código-fonte]

História[editar | editar código-fonte]

Introdução[editar | editar código-fonte]

Distribuição de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Postulado fundamental[editar | editar código-fonte]

Ensembles canônicos[editar | editar código-fonte]

/ Q G + E QG + M QG + EQG

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/ ${\mathcal {T}}$ Q G + E QG + M QG + EQG